$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\tan }^{-1}5x}{7x}$ এর মান হল-

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত লিমিটটি হলো:

\(\lim_{x \to 0}\frac{\tan^{-1}5x}{7x}\)

যখন \(x \to 0\) হয়, তখন লব (\(\tan^{-1}5x\)) এবং হর (\(7x\)) উভয়ই \(0\) এর দিকে ধাবিত হয়। এটি একটি \(\frac{0}{0}\) আকারের অনির্ণেয় রূপ। এই ধরনের লিমিট সমাধান করার জন্য আমরা আদর্শ লিমিটের সূত্র অথবা L'Hôpital's Rule ব্যবহার করতে পারি।

আমরা একটি আদর্শ লিমিট সূত্র জানি:

\(\lim_{y \to 0}\frac{\tan^{-1}y}{y} = 1\)

এই সূত্রটি প্রয়োগ করার জন্য, আমরা প্রদত্ত রাশিটিকে নিম্নোক্তভাবে সাজাতে পারি:

\(\lim_{x \to 0}\frac{\tan^{-1}5x}{7x} = \lim_{x \to 0}\left(\frac{\tan^{-1}5x}{5x} \times \frac{5x}{7x}\right)\)

এখন, লিমিটটিকে দুটি অংশে বিভক্ত করা যায়:

\(= \left(\lim_{x \to 0}\frac{\tan^{-1}5x}{5x}\right) \times \left(\lim_{x \to 0}\frac{5x}{7x}\right)\)

প্রথম অংশের জন্য, যদি আমরা \(y = 5x\) ধরি, তাহলে যখন \(x \to 0\), \(y \to 0\) হয়। সুতরাং, আদর্শ সূত্রটি প্রয়োগ করে পাই:

\(\lim_{x \to 0}\frac{\tan^{-1}5x}{5x} = \lim_{y \to 0}\frac{\tan^{-1}y}{y} = 1\)

দ্বিতীয় অংশের জন্য, লব এবং হর থেকে \(x\) বাতিল করা যায়:

\(\lim_{x \to 0}\frac{5x}{7x} = \lim_{x \to 0}\frac{5}{7} = \frac{5}{7}\)

এখন, প্রাপ্ত দুটি ফলাফলকে গুণ করে আমরা চূড়ান্ত মান পাই:

\(1 \times \frac{5}{7} = \frac{5}{7}\)

বিকল্প পদ্ধতি (L'Hôpital's Rule):

যেহেতু লিমিটটি \(\frac{0}{0}\) আকারের অনির্ণেয় রূপ, আমরা L'Hôpital's Rule ব্যবহার করতে পারি। এই নিয়ম অনুযায়ী, যদি \(\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}\) একটি \(\frac{0}{0}\) বা \(\frac{\infty}{\infty}\) আকারের অনির্ণেয় রূপ হয়, তাহলে \(\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) হয়।

এখানে, \(f(x) = \tan^{-1}5x\) এবং \(g(x) = 7x\)।

\(f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}5x) = \frac{1}{1+(5x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(5x) = \frac{5}{1+25x^2}\)

\(g'(x) = \frac{d}{dx}(7x) = 7\)

অতএব,

\(\lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{5}{1+25x^2}}{7}\)

এখন \(x=0\) বসিয়ে পাই:

\(= \frac{\frac{5}{1+25(0)^2}}{7} = \frac{\frac{5}{1}}{7} = \frac{5}{7}\)

উভয় পদ্ধতিতেই সঠিক উত্তর \(\frac{5}{7}\)।